В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса BD. Найдите углы треугольника АВС, если угол ABD = 35°.

Решение:

В равнобедренном треугольнике \( ABC \) с основанием \( AC \) биссектриса \( BD \) является также высотой и медианой. Следовательно, \( BD \perp AC \), и \( \angle ADB = 90^{\circ} \).

В треугольнике \( ABD \) мы знаем \( \angle ABD = 35^{\circ} \) и \( \angle ADB = 90^{\circ} \). Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

\[ \angle BAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \]

Так как треугольник \( ABC \) равнобедренный с основанием \( AC \), то углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA = \angle BAD = 55^{\circ} \).

Угол \( ABC \) равен удвоенному углу \( ABD \), так как \( BD \) — биссектриса:

\[ \angle ABC = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 35^{\circ} = 70^{\circ} \]

Проверим сумму углов треугольника \( ABC \): \( 55^{\circ} + 70^{\circ} + 55^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: \( \angle BAC = 55^{\circ}, \angle ABC = 70^{\circ}, \angle BCA = 55^{\circ} \)