8. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол А равен 120°. Высота треугольника, про- ведённая из вершины В, равна 13. Найдите длину стороны ВС.

1) Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC и углом A = 120°. Высота, проведённая из вершины B, равна 13.

2) Проведём высоту BH к боковой стороне AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол BAH = 120°, следовательно, угол ABH = 90° - (180° - 120°) = 30°.

3) В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Следовательно, AH = 1/2 * AB, AB = 2 * AH = 2 * 13 = 26.

4) Треугольник ABC равнобедренный, следовательно, AB = AC = 26.

5) Проведём высоту AD к основанию BC. Высота в равнобедренном треугольнике является и медианой, и биссектрисой. Следовательно, угол BAD = 120°/2 = 60°, BD = DC, AD - высота и медиана.

6) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. cos угла BAD = AD/AB, AD = AB * cos угла BAD = 26 * cos 60° = 26 * 1/2 = 13.

7) По теореме Пифагора BD = √(AB² - AD²) = √(26² - 13²) = √(676 - 169) = √507 = 13√3.

8) BC = 2BD = 2 * 13√3 = 26√3.

Ответ: 26√3