7. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Пусть основания равнобедренной трапеции равны $$a = 4$$ и $$b = 8$$. Угол между боковой стороной и основанием равен $$45^\circ$$. Высоту трапеции можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковой стороной и частью большего основания. Эта часть равна $$\frac{b-a}{2} = \frac{8-4}{2} = 2$$.

Так как угол равен $$45^\circ$$, то высота равна этой части основания (треугольник равнобедренный). Следовательно, $$h = 2$$.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$.

В данном случае, $$a = 4$$, $$b = 8$$ и $$h = 2$$. Тогда площадь трапеции равна:

$$S = \frac{4+8}{2} \cdot 2 = \frac{12}{2} \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$$

Ответ: 12