5. В равностороннем треугольнике АВС биссектриса биссектрисы СП и АМ пересекаются в точке Р. Найдите MPN.

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Биссектрисы делят углы пополам, поэтому ∠MAC = ∠MCA = 30°.

Рассмотрим треугольник АМС. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, ∠AMC = 180° - ∠MAC - ∠MCA = 180° - 30° - 60° = 90°.

Т.к. АМ и СN - биссектрисы, то они являются и медианами. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, AP = 2PM и CP = 2PN.

Рассмотрим треугольник АРС. ∠PAC = ∠PCA = 30°, следовательно, ∠APC = 180° - ∠PAC - ∠PCA = 180° - 30° - 30° = 120°.

Т.к. сумма углов, образованных при пересечении двух прямых равна 360°, то ∠MPN = 360° - ∠APC = 360° - 120° = 240°.

Ответ: 240°