135 В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ отрезки СО и С₁О₁ – медианы, ВС = В₁С₁, ∠B = ∠В₁ и ∠C=∠C1. Докажите, что: a) △ACO=△A₁C₁O₁; б) ABCO = AB₁C₁ O₁.

Докажем равенство треугольников △ACO и △A₁C₁O₁ , и △BCO и △B₁C₁O₁.

a) Доказательство: △ACO=△A₁C₁O₁

1. Так как CO и C₁O₁ - медианы, то AO = 1/2 * AB и A₁O₁ = 1/2 * A₁B₁.
2. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁: BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
3. Из равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁ следует, что AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁.
4. Следовательно, AO = 1/2 * AB = 1/2 * A₁B₁ = A₁O₁.
5. Рассмотрим треугольники ACO и A₁C₁O₁: AC = A₁C₁ (из равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁), CO = C₁O₁ (по условию), AO = A₁O₁ (доказано выше). Следовательно, треугольники ACO и A₁C₁O₁ равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

Ответ: △ACO=△A₁C₁O₁

б) Доказательство: ABCO = AB₁C₁ O₁.

1. Так как CO и C₁O₁ - медианы, то BO = 1/2 * AB и B₁O₁ = 1/2 * A₁B₁.
2. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁: BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
3. Из равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁ следует, что AB = A₁B₁ и BC = B₁C₁.
4. Следовательно, BO = 1/2 * AB = 1/2 * A₁B₁ = B₁O₁.
5. Рассмотрим треугольники BCO и B₁C₁O₁: BC = B₁C₁ (по условию), CO = C₁O₁ (по условию), BO = B₁O₁ (доказано выше). Следовательно, треугольники BCO и B₁C₁O₁ равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

Ответ: ABCO = AB₁C₁ O₁.