В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, tgA= \frac{4\sqrt{33}}{33}. Найдите AB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°.

Дано: AC = 4, tg A = \frac{4\sqrt{33}}{33}

Найти: AB

Т.к. \( tg A = \frac{BC}{AC} \), то \( BC = AC \cdot tg A = 4 \cdot \frac{4\sqrt{33}}{33} = \frac{16\sqrt{33}}{33} \).

Тогда по теореме Пифагора \( AB^2 = AC^2 + BC^2 = 4^2 + (\frac{16\sqrt{33}}{33})^2 = 16 + \frac{256 \cdot 33}{33^2} = 16 + \frac{256}{33} = \frac{16 \cdot 33 + 256}{33} = \frac{528 + 256}{33} = \frac{784}{33} \).

\( AB = \sqrt{\frac{784}{33}} = \frac{\sqrt{784}}{\sqrt{33}} = \frac{28}{\sqrt{33}} = \frac{28 \sqrt{33}}{33} \)

Ответ: \( \frac{28 \sqrt{33}}{33} \)