2243. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos A=\(\frac{9}{\sqrt{41}}\) Найдите tg A.

Дано: Прямоугольный треугольник ABC, \(\angle C = 90^\circ\), \(\cos A = \frac{9}{\sqrt{41}}\) .

Найти: \(\tan A\).

Решение:

1. Найдем \(\sin A\) используя основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\] \[\sin^2 A = 1 - \cos^2 A\] \[\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}\] \[\sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{9}{\sqrt{41}}\right)^2}\] \[\sin A = \sqrt{1 - \frac{81}{41}}\] \[\sin A = \sqrt{\frac{41 - 81}{41}}\]

Тут получается отрицательное число под корнем, что невозможно. Вероятно, в условии ошибка и должно быть \(\cos A=\frac{9}{\sqrt{181}}\)

Допустим, что \(\cos A=\frac{9}{\sqrt{181}}\) тогда:

\[\sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{9}{\sqrt{181}}\right)^2}\] \[\sin A = \sqrt{1 - \frac{81}{181}}\] \[\sin A = \sqrt{\frac{181 - 81}{181}}\] \[\sin A = \sqrt{\frac{100}{181}}\] \[\sin A = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{181}} = \frac{10}{\sqrt{181}}\]

2. Найдем \(\tan A\) как отношение синуса к косинусу:

\[\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\] \[\tan A = \frac{\frac{10}{\sqrt{181}}}{\frac{9}{\sqrt{181}}}\] \[\tan A = \frac{10}{\sqrt{181}} \cdot \frac{\sqrt{181}}{9}\] \[\tan A = \frac{10}{9}\]

Ответ (если в условии ошибка): \(\tan A = \frac{10}{9}\)

Проверка за 10 секунд: Синус через основное тригонометрическое тождество, потом тангенс как отношение синуса к косинусу.

Доп. профит: Уровень эксперт: Всегда помни основное тригонометрическое тождество и определение тангенса! Они помогут тебе решать задачи любой сложности!