2241. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosA = \(\frac{3}{\sqrt{89}}\) Найдите tg A.

Дано: Прямоугольный треугольник ABC, \(\angle C = 90^\circ\), \(\cos A = \frac{3}{\sqrt{89}}\) .

Найти: \(\tan A\).

Решение:

1. Найдем \(\sin A\) используя основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\] \[\sin^2 A = 1 - \cos^2 A\] \[\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}\] \[\sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{\sqrt{89}}\right)^2}\] \[\sin A = \sqrt{1 - \frac{9}{89}}\] \[\sin A = \sqrt{\frac{89 - 9}{89}}\] \[\sin A = \sqrt{\frac{80}{89}}\] \[\sin A = \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{89}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 5}}{\sqrt{89}} = \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{89}}\]

2. Найдем \(\tan A\) как отношение синуса к косинусу:

\[\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\] \[\tan A = \frac{\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{89}}}{\frac{3}{\sqrt{89}}}\] \[\tan A = \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{89}} \cdot \frac{\sqrt{89}}{3}\] \[\tan A = \frac{4\sqrt{5}}{3}\]

Ответ: \(\tan A = \frac{4\sqrt{5}}{3}\)

Проверка за 10 секунд: Синус через основное тригонометрическое тождество, потом тангенс как отношение синуса к косинусу.

Доп. профит: Уровень эксперт: Всегда помни основное тригонометрическое тождество и определение тангенса! Они помогут тебе решать задачи любой сложности!