2240. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosA=\(\frac{\sqrt{15}}{4}\). Найдите cos B.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, дано \(\cos A = \frac{\sqrt{15}}{4}\). Необходимо найти \(\cos B\).

Поскольку углы A и B являются острыми углами прямоугольного треугольника, то \(A + B = 90^\circ\), и \(B = 90^\circ - A\). Следовательно, \(\cos B = \sin A\).

Сначала найдем \(\sin A\), используя основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\]

Подставим известное значение косинуса:

\[\sin^2 A + \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = 1\] \[\sin^2 A + \frac{15}{16} = 1\]

Выразим \(\sin^2 A\):

\[\sin^2 A = 1 - \frac{15}{16}\] \[\sin^2 A = \frac{16}{16} - \frac{15}{16}\] \[\sin^2 A = \frac{1}{16}\]

Теперь найдем \(\sin A\), извлекая квадратный корень из обеих частей. Учитывая, что угол A острый, синус будет положительным:

\[\sin A = \sqrt{\frac{1}{16}}\] \[\sin A = \frac{1}{4}\]

Поскольку \(\cos B = \sin A\), то:

\[\cos B = \frac{1}{4}\]

Ответ: \(\cos B = \frac{1}{4}\)

Проверка за 10 секунд: В прямоугольном треугольнике косинус одного острого угла равен синусу другого. Если \(\cos A = \frac{\sqrt{15}}{4}\), то \(\cos B = \frac{1}{4}\).

Доп. профит: Запомни, что в прямоугольном треугольнике \(\cos B = \sin (90^\circ - A)\). Это знание поможет тебе быстро решать задачи и экономить время на экзаменах!