2238. В треугольнике АВС угол C равен 90°, sin A=\(\frac{\sqrt{7}}{4}\). Найдите sin B.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, дано \(\sin A = \frac{\sqrt{7}}{4}\). Необходимо найти \(\sin B\).

Поскольку углы A и B являются острыми углами прямоугольного треугольника, то \(A + B = 90^\circ\), и \(B = 90^\circ - A\). Следовательно, \(\sin B = \cos A\).

Сначала найдем \(\cos A\), используя основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\]

Подставим известное значение синуса:

\[\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 + \cos^2 A = 1\] \[\frac{7}{16} + \cos^2 A = 1\]

Выразим \(\cos^2 A\):

\[\cos^2 A = 1 - \frac{7}{16}\] \[\cos^2 A = \frac{16}{16} - \frac{7}{16}\] \[\cos^2 A = \frac{9}{16}\]

Теперь найдем \(\cos A\), извлекая квадратный корень из обеих частей. Учитывая, что угол A острый, косинус будет положительным:

\[\cos A = \sqrt{\frac{9}{16}}\] \[\cos A = \frac{3}{4}\]

Поскольку \(\sin B = \cos A\), то:

\[\sin B = \frac{3}{4}\]

Ответ: \(\sin B = \frac{3}{4}\)

Проверка за 10 секунд: В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого. Если \(\sin A = \frac{\sqrt{7}}{4}\), то \(\sin B = \frac{3}{4}\).

Доп. профит: Знание взаимосвязи между синусом и косинусом в прямоугольном треугольнике значительно упрощает решение задач. Помни, что \(\sin A = \cos (90^\circ - A)\).