2239. В треугольнике АВС угол C равен 90°, cos A = \(\frac{3}{5}\). Найдите cos B.

В прямоугольном треугольнике ABC с углом C, равным 90°, дано \(\cos A = \frac{3}{5}\). Найдём \(\cos B\).

Так как углы A и B - острые углы прямоугольного треугольника, то \(A + B = 90^\circ\), следовательно, \(B = 90^\circ - A\). Тогда \(\cos B = \sin A\).

Сначала найдем \(\sin A\), используя основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\]

Подставим известное значение косинуса:

\[\sin^2 A + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1\] \[\sin^2 A + \frac{9}{25} = 1\]

Выразим \(\sin^2 A\):

\[\sin^2 A = 1 - \frac{9}{25}\] \[\sin^2 A = \frac{25}{25} - \frac{9}{25}\] \[\sin^2 A = \frac{16}{25}\]

Теперь найдем \(\sin A\), извлекая квадратный корень из обеих частей. Учитывая, что угол A острый, синус будет положительным:

\[\sin A = \sqrt{\frac{16}{25}}\] \[\sin A = \frac{4}{5}\]

Поскольку \(\cos B = \sin A\), то:

\[\cos B = \frac{4}{5}\]

Ответ: \(\cos B = \frac{4}{5}\)

Проверка за 10 секунд: В прямоугольном треугольнике косинус одного острого угла равен синусу другого угла. Если \(\cos A = \frac{3}{5}\), то \(\cos B = \frac{4}{5}\).

Доп. профит: Запомни, что в прямоугольном треугольнике \(\cos A = \sin (90^\circ - A)\). Это знание поможет тебе быстро решать задачи и экономить время на экзаменах!