3. В треугольнике АВС ∠A = 90°, ∠C= 15°. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠DBC = 15°. а) Докажите, что BD = 2AB. 6) Докажите, что BC < 4AB.

а) Рассмотрим треугольник BDC. В нем ∠DBC = ∠C = 15°, следовательно, треугольник BDC равнобедренный, и BD = DC.

Рассмотрим треугольник ABD. В нем ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = (90° - ∠C) - ∠DBC = (90° - 15°) - 15° = 75° - 15° = 60°.

Тогда ∠ADB = 180° - ∠A - ∠ABD = 180° - 90° - 60° = 30°.

В прямоугольном треугольнике ABD катет AB лежит против угла 30°, следовательно, BD = 2AB.

б) Рассмотрим треугольник ABC. В нем ∠A = 90°, ∠C = 15°. Следовательно, BC = 2AB / sin(15°).

Так как sin(15°) > 1/2, то BC < 4AB.

Ответ: а) доказано, что BD = 2AB; б) доказано, что BC < 4AB.