3. В треугольнике АВС ∠C = 60°. На стороне АС отме- чена точка Д так, что ∠BDC = 60°, ∠ABD = 30°. а) Докажите, что AD = BC. 6) Докажите, что периметр треугольника АВС меньше пяти длин отрезка ВС.

а) Рассмотрим треугольник BDC. В нем ∠BDC = ∠C = 60°, следовательно, треугольник BDC равносторонний, и BD = BC = CD.

Рассмотрим треугольник ABD. В нем ∠ABD = 30°, ∠ADB = 180° - ∠BDC = 180° - 60° = 120°. Тогда ∠A = 180° - ∠ABD - ∠ADB = 180° - 30° - 120° = 30°.

Следовательно, в треугольнике ABD ∠ABD = ∠A = 30°, и треугольник ABD равнобедренный, AD = BD.

Тогда AD = BD = BC. Следовательно, AD = BC.

б) Рассмотрим треугольник ABC. В нем ∠A = 30°, ∠C = 60°. Тогда ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 30° - 60° = 90°.

То есть, треугольник ABC прямоугольный с углом A = 30°, следовательно, BC = 1/2 AC (катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы).

AB = BC * ctg(C) = BC * ctg(60°) = BC / √3 ≈ 0.577 * BC.

AC = AD + DC = BC + BC = 2 * BC.

Тогда P = AB + BC + AC ≈ 0.577 * BC + BC + 2 * BC ≈ 3.577 * BC < 5 * BC.

Ответ: а) доказано, что AD = BC; б) доказано, что периметр треугольника АВС меньше пяти длин отрезка ВС.