В треугольнике АВС AC=BC, AB=10, tg A = \frac{2\sqrt{6}}{5}. Найдите длину стороны АС.

Ответ: 7

1. Так как AC = BC, треугольник ABC равнобедренный, и ∠A = ∠B.
2. По теореме косинусов: \[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\] Так как AC = BC: \[AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot \cos C\]
3. Угол C = 180° - 2A, поэтому cos C = cos(180° - 2A) = -cos(2A) = -(cos²A - sin²A).
4. Находим cos A и sin A, зная tg A: \[tg A = \frac{2\sqrt{6}}{5}\] \[\cos A = \frac{1}{\sqrt{1 + tg^2 A}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{2\sqrt{6}}{5})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{24}{25}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{49}{25}}} = \frac{5}{7}\] \[\sin A = tg A \cdot cos A = \frac{2\sqrt{6}}{5} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2\sqrt{6}}{7}\]
5. Находим cos C: \[\cos C = -(\cos^2 A - \sin^2 A) = -\left(\left(\frac{5}{7}\right)^2 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2\right) = -\left(\frac{25}{49} - \frac{24}{49}\right) = -\frac{1}{49}\]
6. Подставляем в уравнение теоремы косинусов: \[10^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot \left(-\frac{1}{49}\right)\] \[100 = 2AC^2 + \frac{2AC^2}{49}\] \[100 = AC^2 \left(2 + \frac{2}{49}\right)\] \[100 = AC^2 \cdot \frac{100}{49}\] \[AC^2 = \frac{100 \cdot 49}{100} = 49\] \[AC = \sqrt{49} = 7\]

Ответ: 7