В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН высота, АВ = 90, sinA=\frac{2}{3}. Найдите длину отрезка АН.

Ответ: 50

1. В прямоугольном треугольнике ACH синус угла A равен отношению противолежащего катета CH к гипотенузе AC: \[\sin A = \frac{CH}{AC} = \frac{2}{3}\]
2. В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB: \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3}\] Тогда \[BC = AB \cdot \sin A = 90 \cdot \frac{2}{3} = 60\]
3. Находим AC по теореме Пифагора для треугольника ABC: \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{90^2 - 60^2} = \sqrt{8100 - 3600} = \sqrt{4500} = 30\sqrt{5}\]
4. Находим CH: \[CH = AC \cdot \sin A = 30\sqrt{5} \cdot \frac{2}{3} = 20\sqrt{5}\]
5. Теперь найдем AH, зная, что AC² = AH · AB (свойство высоты в прямоугольном треугольнике): \[AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{(30\sqrt{5})^2}{90} = \frac{900 \cdot 5}{90} = 50\]

Ответ: 50