В треугольнике АВС угол C равен 90°, угол А равен 30°, АВ = 90√3. Найдите высоту СН.

Площадь треугольника АВС можно найти двумя способами: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$$.
Выразим AC и BC через AB и угол A:
$$AC = AB \cdot \cos A = 90\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 90 \cdot \frac{3}{2} = 135$$
$$BC = AB \cdot \sin A = 90\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 45\sqrt{3}$$
Тогда:
$$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$$
$$AC \cdot BC = AB \cdot CH$$
$$CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{135 \cdot 45\sqrt{3}}{90\sqrt{3}} = \frac{135 \cdot 45}{90} = \frac{135}{2} = 67.5$$

Ответ: 67.5