В треугольнике сторона AC пересекается с плоскостью α в точке A₁, а сторона BC — в точке B₁. Найдите длину отрезка A₁B₁, если: 1) AB = 15 см, AA₁ : AC = 2 : 3; 2) AB = 8 см, AA₁ : A₁C = 5 : 3; 3) B₁C = 10 см, AB : BC = 4 : 5; 4) AA₁ = a, AB = b, A₁C = c.

Поскольку плоскость α параллельна AB, имеем A₁B₁ ∥ AB, поэтому треугольники CA₁B₁ и CAB подобны. Следовательно, A₁B₁ / AB = CA₁ / CA = CB₁ / CB.

1. AA₁ : AC = 2 : 3, значит CA₁ / CA = 1/3. Тогда A₁B₁ = 15 · 1/3 = 5 см.
2. AA₁ : A₁C = 5 : 3, поэтому CA₁ / CA = 3/(5 + 3) = 3/8. Тогда A₁B₁ = 8 · 3/8 = 3 см.
3. CB₁ / CB = AB / BC = 4/5. Значит A₁B₁ = CB₁ · AB/BC = 10 · 4/5 = 8 см.
4. CA = AA₁ + A₁C = a + c. Поэтому A₁B₁ / b = c/(a + c), откуда A₁B₁ = bc/(a + c).