В8. Найдите наибольшее значение функции y =x³-6x²+9x+3 на отрезке [-2;2].

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = 3x^2 - 12x + 9 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \). Разделим на 3: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение: \( (x-1)(x-3) = 0 \). Корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \).
4. Из критических точек \( x=1 \) и \( x=3 \) только \( x=1 \) попадает на отрезок \( [-2; 2] \).
5. Вычислим значения функции в граничных точках отрезка и в критической точке, попавшей на отрезок:
• При \( x = -2 \): \( y = (-2)^3 - 6(-2)^2 + 9(-2) + 3 = -8 - 6(4) - 18 + 3 = -8 - 24 - 18 + 3 = -47 \).
• При \( x = 1 \): \( y = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 3 = 1 - 6 + 9 + 3 = 7 \).
• При \( x = 2 \): \( y = (2)^3 - 6(2)^2 + 9(2) + 3 = 8 - 6(4) + 18 + 3 = 8 - 24 + 18 + 3 = 5 \).
6. Сравним полученные значения: -47, 7, 5. Наибольшее значение равно 7.

Ответ: 7.