Вариант 1. 4) (2 балла) Упростите выражение: а) $\frac1{\sin^2\alpha}-\ctg^2\alpha-\cos^2\beta$; б) $\left(\frac1{\cos^2\alpha}-\cos^2\alpha\right)\left(\frac1{\cos^2\alpha}-1\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 1. 4) (2 балла) Упростите выражение: а) $\frac1{\sin^2\alpha}-\ctg^2\alpha-\cos^2\beta$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) По тождеству $\frac1{\sin^2\alpha}-\ctg^2\alpha=1$. Поэтому

$1-\cos^2\beta=\sin^2\beta$.

б) Преобразуем множители:

$\frac1{\cos^2\alpha}-\cos^2\alpha=\frac{1-\cos^4\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha(1+\cos^2\alpha)}{\cos^2\alpha}$,

$\frac1{\cos^2\alpha}-1=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$.

Следовательно, результат равен $\frac{\sin^4\alpha(1+\cos^2\alpha)}{\cos^4\alpha}$.

Ответ: а) $\sin^2\beta$; б) $\frac{\sin^4\alpha(1+\cos^2\alpha)}{\cos^4\alpha}$.

Вариант 1. 4) (2 балла) Упростите выражение: а) \(\frac1{\sin^2\alpha}-\ctg^2\alpha-\cos^2\beta\); б) \(\left(\frac1{\cos^2\alpha}-\cos^2\alpha\right)\left(\frac1{\cos^2\alpha}-1\right)\).