Вариант 1. 5) (1 балл) Докажите тождество: \(\frac{\cos^4\alpha-\sin^4\alpha}{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}+2 g^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}\).

Разложим числитель первой дроби:

\(\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\).

Знаменатель: \((1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)=1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\).

Тогда левая часть равна

\(\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+2\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac1{\cos^2\alpha}\).

Тождество доказано.