Вариант 2. 5) (1 балл) Докажите тождество: \(\frac{\sin^4\alpha-\cos^4\alpha}{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}+2\ctg^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}\).

Question

Вопрос:

Фото задания

Вариант 2. 5) (1 балл) Докажите тождество: \(\frac{\sin^4\alpha-\cos^4\alpha}{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}+2\ctg^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}\).

Accepted Answer

Разложим числитель первой дроби:

\(\sin^4\alpha-\cos^4\alpha=(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha\).

Знаменатель: \((1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)=1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\).

Левая часть равна

\(\frac{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}+2\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac1{\sin^2\alpha}\).

Тождество доказано.

Вариант 2. 5) (1 балл) Докажите тождество: \(\frac{\sin^4\alpha-\cos^4\alpha}{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}+2\ctg^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}\).

Ответ: