Вариант 1, Задача 5: На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки D и E так, что ∠ACD = ∠CAE. Докажите, что AD = CE.

Рассмотрим треугольники ADC и CEA. По условию, ∠ACD = ∠CAE. Угол ∠AСE общий для обоих треугольников. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC и \(\angle BAC = \angle BCA\). Следовательно, \(\angle BAC - \angle CAE = \angle BCA - \angle ACD\), то есть \(\angle DAC = \angle ECA\). Теперь мы имеем \(\angle DAC = \angle ECA\) и \(\angle ACD = \angle CAE\), а сторона AC общая для обоих треугольников. Таким образом, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольники ADC и CEA равны: \(\triangle ADC = \triangle CEA\). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть AD = CE. Ответ: AD = CE.