Вариант 2, Задача 5: На основании AC равнобедренного треугольника ABC отметили точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK. точка M лежит между точками А и К. Докажите, что AM = CK.

Рассмотрим треугольники ABM и CBK. По условию, ∠ABM = ∠CBK. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC, и углы ∠BAC и ∠BCA равны. Мы можем также утверждать, что \(\angle ABC = \angle ABM + \angle MBC = \angle CBK + \angle MBC\). Значит, \(\angle ABC = \angle ABK\). Таким образом, \(\angle ABC = \angle ABK\) и \(\angle ABM = \angle CBK\). Теперь рассмотрим треугольники ABM и CBK. У них AB = CB (так как ABC равнобедренный), ∠ABM = ∠CBK (по условию), и \(\angle BAC = \angle BCA\). Следовательно, треугольники ABM и CBK равны по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам): \(\triangle ABM = \triangle CBK\). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть AM = CK. Ответ: AM = CK.