Вариант 3. 5) Упростите выражение \(\sqrt{\frac{x}{x-a^2}}:\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x-a^2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-a^2}}-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-a^2}}{\sqrt{x}-\sqrt{x-a^2}}\right)\).

Обозначим \(u=\sqrt{x}\), \(v=\sqrt{x-a^2}\). Тогда выражение в скобках равно

\(\frac{u-v}{u+v}-\frac{u+v}{u-v}=\frac{(u-v)^2-(u+v)^2}{u^2-v^2}=\frac{-4uv}{a^2}\).

Исходное выражение поэтому равно \(\frac{u}{v}:\frac{-4uv}{a^2}=-\frac{a^2}{4v^2}=-\frac{a^2}{4(x-a^2)}\).

Для исходного выражения необходимо \(a\ne0\) и \(x>a^2\): это обеспечивает существование корней, ненулевые знаменатели и ненулевой делитель.

Ответ: \(-\frac{a^2}{4(x-a^2)}\), при \(a\ne0\), \(x>a^2\).