Вариант 3. Задача 4. а) Сформулируйте определение цилиндра. Какие фигуры получаются в сечениях цилиндра плоскостями, параллельными оси и перпендикулярными оси? Как связаны стороны сечения, параллельного оси, с радиусом и высотой цилиндра? б) Плоскость, параллельная оси цилиндра, пересекает основание по хорде, отсекающей меньшую дугу 120°. Диагональ прямоугольного сечения равна 10 см и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите радиус основания, высоту цилиндра и площадь его полной поверхности.

а) Цилиндр — тело, ограниченное двумя равными кругами в параллельных плоскостях и боковой поверхностью. Сечение плоскостью, параллельной оси, — прямоугольник; одна его сторона равна высоте цилиндра, другая — хорде основания. Сечение плоскостью, перпендикулярной оси, — круг (внутри тела — круг соответствующего сечения).

б) Диагональ прямоугольного сечения равна 10 см и образует с плоскостью основания угол 30°.

1. Высота — перпендикулярная к основанию составляющая диагонали: \(h=10\sin30^\circ=5\) см.
2. Хорда основания — проекция диагонали на плоскость основания: \(c=10\cos30^\circ=5\sqrt3\) см.
3. Хорда, стягивающая центральный угол 120°, равна \(R\sqrt3\). Значит, \(R\sqrt3=5\sqrt3\), откуда \(R=5\) см.
4. Полная поверхность: \(S_{полн}=2\pi R(h+R)=2\pi\cdot5\cdot(5+5)=100\pi\) см².

Ответ: радиус основания 5 см, высота 5 см, площадь полной поверхности \(100\pi\) см².