Вариант 4. Задача 5. Радиус основания конуса равен 10 см, высота — 8 см. Через вершину P конуса и хорду AB основания длиной 16 см проведена плоскость; O — центр основания конуса, M — середина хорды AB. а) Докажите, что плоскости POM и PAB перпендикулярны. б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью PAB. в) Найдите расстояние от точки O до плоскости PAB.

1. Так как M — середина хорды AB, \(OM\perp AB\). Высота \(PO\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(PO\perp AB\). Следовательно, AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым PO и OM плоскости POM, то есть \(AB\perp(POM)\). Поскольку AB лежит в плоскости PAB, плоскости POM и PAB перпендикулярны.
2. \(AM=8\) см, поэтому \(OM=\sqrt{10^2-8^2}=6\) см. Высота треугольника PAB к стороне AB равна \(PM=\sqrt{PO^2+OM^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\) см. Площадь сечения: \(S=\frac12\cdot16\cdot10=80\) см².
3. Площадь треугольника OAB равна \(\frac12\cdot16\cdot6=48\) см². Объём тетраэдра OABP: \(V=\frac13\cdot48\cdot8=128\) см³. Если d — расстояние от O до плоскости PAB, то также \(V=\frac13\cdot80d\). Отсюда \(d=\frac{128\cdot3}{80\cdot3}=\frac85=1.6\) см.

Ответ: плоскости перпендикулярны; площадь сечения 80 см²; расстояние от O до плоскости PAB — 1,6 см.