Вариант 4. Задача 4. а) Сформулируйте определение конуса. Что называется развёрткой боковой поверхности конуса и какую фигуру она представляет собой? Какую фигуру представляет собой сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси? б) Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор радиуса 12 см с центральным углом 120°. Найдите радиус основания конуса, его высоту и площадь боковой поверхности конуса.

а) Конус — тело, ограниченное кругом-основанием и боковой поверхностью, образованной отрезками от точек окружности основания к общей вершине. Развёртка боковой поверхности — круговой сектор радиуса, равного образующей; длина дуги сектора равна длине окружности основания. Сечение плоскостью, перпендикулярной оси конуса, — круг.

б) Радиус сектора, то есть образующая конуса, равен 12 см; центральный угол — 120°.

1. Длина дуги сектора равна \(12\cdot\frac{2\pi}{3}=8\pi\) см. Приравниваем её длине окружности основания: \(2\pi r=8\pi\), значит, \(r=4\) см.
2. Высота конуса: \(h=\sqrt{12^2-4^2}=\sqrt{128}=8\sqrt2\) см.
3. Площадь боковой поверхности: \(S_{бок}=\pi rl=\pi\cdot4\cdot12=48\pi\) см².

Ответ: радиус основания 4 см, высота \(8\sqrt2\) см, площадь боковой поверхности \(48\pi\) см².