Вариант 3. Задача 5. Радиус основания конуса равен 15 см, высота — 12 см. Через вершину P конуса и хорду AB основания длиной 24 см проведена плоскость; O — центр основания конуса, M — середина хорды AB. а) Докажите, что плоскости POM и PAB перпендикулярны. б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью PAB. в) Найдите расстояние от точки O до плоскости PAB.

1. Так как M — середина хорды AB, то \(OM\perp AB\). Высота конуса \(PO\) также перпендикулярна плоскости основания, следовательно, \(PO\perp AB\). Прямые PO и OM пересекаются и лежат в плоскости POM, поэтому \(AB\perp(POM)\). Поскольку AB лежит в плоскости PAB, плоскости POM и PAB перпендикулярны.
2. \(AM=12\) см, поэтому \(OM=\sqrt{15^2-12^2}=9\) см. Расстояние от P до прямой AB равно \(PM=\sqrt{PO^2+OM^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15\) см. Сечение — треугольник PAB, и его площадь \(S=\frac12\cdot24\cdot15=180\) см².
3. Площадь треугольника OAB равна \(\frac12\cdot24\cdot9=108\) см². Объём тетраэдра OABP, вычисленный по основанию OAB, равен \(\frac13\cdot108\cdot12=432\) см³. По основанию PAB он равен \(\frac13\cdot180\cdot d\), где d — искомое расстояние от O до плоскости PAB. Поэтому \(432=60d\), откуда \(d=\frac{36}{5}=7.2\) см.

Ответ: плоскости перпендикулярны; площадь сечения 180 см²; расстояние от O до плоскости PAB — 7,2 см.