Вариант I. 6. Упростить \(\left(\dfrac{a^{1/2}+2}{a+2a^{1/2}+1}-\dfrac{a^{1/2}-2}{a-1}\right)\cdot\dfrac{a^{1/2}+1}{a^{1/2}}\) при \(a>0,\ a\ne1\).

Положим \(t=\sqrt a\). Тогда \(a+2\sqrt a+1=(t+1)^2\), а \(a-1=(t-1)(t+1)\):

\[\left(\frac{t+2}{(t+1)^2}-\frac{t-2}{(t-1)(t+1)}\right)\frac{t+1}{t}.\]

Приведём разность к общему знаменателю:

\[\frac{(t+2)(t-1)-(t-2)(t+1)}{(t+1)^2(t-1)}\cdot\frac{t+1}{t}=\frac{2t}{(t+1)^2(t-1)}\cdot\frac{t+1}{t}=\frac{2}{t^2-1}=\frac{2}{a-1}.\]

Ответ: \(\frac{2}{a-1}\).