Вариант II. 6. Упростить \(\left(\dfrac{x-y}{x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}+x^{1/4}y^{1/2}+y^{3/4}}-\dfrac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}}\right)\left(\dfrac yx\right)^{-1/2}\) при \(x>0,\ y>0\).

Question

Вопрос:

Вариант II. 6. Упростить \(\left(\dfrac{x-y}{x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}+x^{1/4}y^{1/2}+y^{3/4}}-\dfrac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}}\right)\left(\dfrac yx\right)^{-1/2}\) при \(x>0,\ y>0\).

Accepted Answer

Обозначим \(u=x^{1/4}\), \(v=y^{1/4}\). Тогда \(x-y=u^4-v^4=(u-v)(u^3+u^2v+uv^2+v^3)\), поэтому первая дробь равна \(u-v\). Вторая дробь также равна \(u-v\):

\[\frac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}}=\frac{u^2-v^2}{u+v}=u-v.\]

Разность в скобках равна нулю, значит всё выражение равно нулю.

Ответ: 0.