Вариант I. Задача 1. В треугольнике ABC ∠C = 60°, ∠B = 90°. Высота BB₁ равна 2 см. Найдите AB.

В прямоугольном треугольнике (BB_1C) угол (C = 60^circ), значит, угол (BB_1C = 90^circ), и угол (B_1BC = 30^circ). Катет, лежащий против угла в (30^circ), равен половине гипотенузы. Следовательно, (B_1C = rac{1}{2} BC). Выразим (BC) через (BB_1), используя тангенс угла C: [ \tan(C) = \frac{BB_1}{B_1C} \] [ \tan(60^circ) = \frac{2}{B_1C} \] [ \sqrt{3} = \frac{2}{B_1C} \] [ B_1C = \frac{2}{\sqrt{3}} \] Теперь найдем (BC): [ BC = 2 \cdot B_1C = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \] Теперь рассмотрим треугольник (ABC). Здесь угол (B = 90^circ), угол (C = 60^circ), значит, угол (A = 30^circ). Следовательно, катет (BC) равен половине гипотенузы (AB). [ BC = \frac{1}{2} AB \] [ AB = 2 BC = 2 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \] Ответ: (AB = \frac{8\sqrt{3}}{3}) см.