Вариант I. Задача 4*. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведенными из той же вершины, пополам.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где ∠B = 90°, BD - биссектриса, BE - высота, BF - медиана. Пусть ∠A < ∠C. 1. Так как BF - медиана, проведенная из вершины прямого угла, то BF = AF = CF. Следовательно, треугольник BFA равнобедренный, и ∠BAF = ∠BFA. 2. Так как ∠B = 90°, то ∠A + ∠C = 90°. 3. Пусть ∠ABF = x. Тогда ∠BFA = ∠A = 45° - x. 4. Так как BD - биссектриса, то ∠ABD = ∠CBD = 45°. 5. Рассмотрим треугольник ABE. ∠BAE = ∠A = 45° - x. Так как BE - высота, то ∠BEA = 90°. Следовательно, ∠ABE = 90° - ∠A = 90° - (45° - x) = 45° + x. 6. Тогда угол между биссектрисой и высотой ∠DBE = ∠ABE - ∠ABD = (45° + x) - 45° = x. 7. Угол между биссектрисой и медианой ∠DBF = ∠ABF - ∠ABD = 45° - ∠ABF = ∠ABF - 45° = ∠ABD - ∠ABF = 45 - (x) = x. То есть ∠DBE = ∠DBF = x. Таким образом, биссектриса делит угол между высотой и медианой пополам.