Вариант II. Задача 4*. В треугольнике ABC ∠C = 60°. На стороне AC отмечена точка D так, что ∠BDC = 60°, ∠ABD = 30°, CD = 5 см. Найдите AC и расстояние от точки D до стороны AB.

∠BDC = 60°, ∠ABD = 30°. В треугольнике BDC углы ∠DBC = 180° - 60° - ∠BCD = 120° - ∠BCD. Так как ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 30° + ∠DBC = 30° + 120° - ∠BCD = 150° - ∠BCD. Поскольку ∠C = 60°, то ∠A = 180° - 60° - (150° - ∠BCD) = ∠BCD - 30°. Если ∠BCD = 60°, то ∠DBC = 60°. Треугольник BDC равнобедренный, BD = CD = 5. Угол ∠ABC = 150 - 60 = 90. ∠A = 60 - 30 = 30. Тогда AC = 2BC, 2DC. AC = AD + 5. 2BD Так как ∠BDC = 60°, ∠C = 60°, то треугольник BDC равнобедренный, BD = BC = 5. Так как ∠ABD = 30°, то ∠ABC = 90°. Значит, ABC - прямоугольный, ∠A = 30°. Следовательно, AC = BC sqrt(3) = 5 sqrt(3). AD = AC - CD = 5 sqrt(3) - 5 = 5(sqrt(3) - 1). Расстояние от точки D до AB равно BD sin ∠ABD = 5 sin 30° = 5 * 1/2 = 2.5. Ответ: AC = 5 sqrt(3) см, расстояние от D до AB равно 2.5 см.