Вариант III. Задача 4*. В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠B = 60°. На стороне AC отмечена точка D так, что ∠DBC = 30°, DA = 4 см. Найдите AC и расстояние от точки D до стороны BC.

Поскольку ∠A = 90° и ∠B = 60°, то ∠C = 30°. Также ∠DBC = 30°, значит, ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = 60° - 30° = 30°. Следовательно, BD - биссектриса угла B. Рассмотрим треугольник ABD. В нем ∠A = 90°, ∠ABD = 30°. Отсюда ∠ADB = 180° - 90° - 30° = 60°. В треугольнике DBC ∠DBC = 30° и ∠C = 30°, значит, треугольник DBC равнобедренный, и BD = DC. Обозначим DC = x, тогда BD = x. В прямоугольном треугольнике ABD катет AD = 4, гипотенуза BD = x. Cos ∠ABD = AD/BD = 4/x. Cos 30° = sqrt(3)/2. 4/x = sqrt(3)/2. x = 8/sqrt(3) = (8 sqrt(3))/3. Так как AC = AD + DC = 4 + (8 sqrt(3))/3. AC = (12 + 8 sqrt(3))/3. Расстояние от D до BC равно DC * sin 30° = (8 sqrt(3))/3 * 1/2 = (4 sqrt(3))/3. Ответ: AC = (12 + 8 sqrt(3))/3, расстояние от D до BC = (4 sqrt(3))/3.