Вариант IV. Задача 4*. Медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.

Пусть в треугольнике ABC из вершины B проведены медиана BF и высота BE, которые делят угол ABC на три равные части, то есть ∠ABE = ∠EBF = ∠FBC. Пусть каждый из этих углов равен x. Тогда ∠ABC = 3x. Так как BE - высота, то ∠BEA = ∠BEC = 90°. В прямоугольном треугольнике ABE, ∠BAE = 90° - ∠ABE = 90° - x. Так как BF - медиана, то AF = FC. Рассмотрим треугольник BFC. ∠FBC = x, BF = FC, следовательно, треугольник BFC равнобедренный, и ∠BFC = ∠BCF. ∠BFC = 180° - 2x. ∠AFB = 180° - ∠BFC = 180° - (180° - 2x) = 2x. Рассмотрим треугольник AFB. ∠BAF + ∠ABF + ∠AFB = 180° (90° - x) + 2x + x = 180° 90° + 2x = 180° 2x = 90° x = 45° Тогда ∠ABC = 3x = 3 * 45° = 135° Но в треугольнике ABE, ∠A + ∠ABC должно быть < 180 , из условия 4. Медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный. Пусть BE-высота, BF-медиана и AE = EF = FC Доказать ABC = 90. BE -высота, ABF=EBF=FBC=a(a/3) FBC - равнобедренный( FС=BF) BFC=BCF=90-1/2B ABF = 2a => BCA = 3a=90 Значит угол ABC = 90. Треугольник прямоугольный.