Вариант II. 3. Докажите, что если точка N лежит на стороне CB равностороннего треугольника ABC, то AN < AC.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна \(s\), а \(CN=x\), где \(0\le x\le s\). Высота из A на CB равна \(\frac{\sqrt3}{2}s\). По теореме Пифагора:

\(AN^2=x^2+\frac34s^2\).

Поскольку \(x\le s\), имеем \(AN^2\le s^2+\frac34s^2\) — эта оценка не доказывает требуемого. Проверим точное сравнение: \(AN^2

Таким образом, утверждение верно только если N находится на половине стороны CB, ближайшей к C. В общем случае оно неверно: при N=B получаем \(AN=AB=AC\), а при N ближе к B — \(AN>AC\).