Вариант II. 5. Решите неравенство \(\sqrt{2x^2+x}<1+2x\).

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(2x^2+x=x(2x+1)\ge0\), откуда \(x\le-\frac12\) или \(x\ge0\). Кроме того, правая часть должна быть строго положительной, поскольку она больше неотрицательного корня: \(1+2x>0\), то есть \(x>-\frac12\). Вместе эти условия дают \(x\ge0\).

На этом промежутке обе части неотрицательны, поэтому возводим их в квадрат:

\(2x^2+x<(1+2x)^2\), откуда \(0<2x^2+3x+1=(2x+1)(x+1)\). При \(x\ge0\) это неравенство выполняется.

Ответ: \(x\in[0;+\infty)\).