5 x²-4x-5 < 0 2x-1 > 0 3

Решим систему неравенств:

$$\frac{x^2 - 4x - 5}{2x - 1} < 0$$

$$3 > 0$$

1. Решим неравенство:

   $$\frac{x^2 - 4x - 5}{2x - 1} < 0$$

   Найдем корни числителя:

   $$x^2 - 4x - 5 = 0$$

   $$D = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36$$

   $$x_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$$

   $$x_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1$$

   Числитель: $$(x - 5)(x + 1)$$.

   Знаменатель: $$2x - 1$$.

   $$\frac{(x - 5)(x + 1)}{2x - 1} < 0$$

2. Нули числителя: $$x = 5, x = -1$$.

   Нули знаменателя: $$2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$$.

3. Определим знаки на интервалах:

   $$(-\infty; -1): \frac{(-)(-)}{(-)} = (-) < 0$$

   $$(-1; \frac{1}{2}): \frac{(-)(+)}{(-)} = (+) > 0$$

   $$(\frac{1}{2}; 5): \frac{(-)(+)}{(+)} = (-) < 0$$

   $$(5; +\infty): \frac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$$

4. Решением являются интервалы $$(-\infty; -1)$$ и $$(\frac{1}{2}; 5)$$.

Ответ: $$(-\infty; -1) \cup (\frac{1}{2}; 5)$$