6)y = ctgx+√x

Для нахождения производной функции y = ctgx + √x, используем правило дифференцирования котангенса и степенной функции.

$$y' = (ctg(x))' + (\sqrt{x})'$$

1) Производная котангенса равна минус единица, деленная на синус в квадрате:

$$(ctg(x))' = -\frac{1}{\sin^2{x}}$$

2) Производная $$\sqrt{x}$$ равна производной x в степени 1/2:

$$(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$.

Объединяем результаты:

$$y' = -\frac{1}{\sin^2{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Ответ: $$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{\sin^2{x}}$$