56. z = e^(x³ + y²);

Для решения задачи необходимо исследовать функцию двух переменных z = e^(x³ + y²) на экстремум. 1. Находим частные производные первого порядка: ∂z/∂x = e^(x³ + y²) * 3x² ∂z/∂y = e^(x³ + y²) * 2y 2. Находим стационарные точки, приравняв частные производные к нулю: e^(x³ + y²) * 3x² = 0 e^(x³ + y²) * 2y = 0 Так как e^(x³ + y²) ≠ 0, то имеем систему: 3x² = 0 2y = 0 Из первого уравнения: x = 0 Из второго уравнения: y = 0 Стационарная точка: (0, 0) 3. Находим частные производные второго порядка: ∂²z/∂x² = e^(x³ + y²) * 3x² * 3x² + e^(x³ + y²) * 6x = e^(x³ + y²) * (9x⁴ + 6x) ∂²z/∂y² = e^(x³ + y²) * 2y * 2y + e^(x³ + y²) * 2 = e^(x³ + y²) * (4y² + 2) ∂²z/∂x∂y = e^(x³ + y²) * 3x² * 2y = e^(x³ + y²) * 6x²y 4. Вычисляем значения в точке (0, 0): ∂²z/∂x²(0, 0) = e^(0) * (0 + 0) = 0 ∂²z/∂y²(0, 0) = e^(0) * (0 + 2) = 2 ∂²z/∂x∂y(0, 0) = e^(0) * 0 = 0 5. Вычисляем дискриминант D: D = (∂²z/∂x²) * (∂²z/∂y²) - (∂²z/∂x∂y)² D = (0) * (2) - (0)² = 0 6. Анализируем стационарную точку (0, 0): Так как D = 0, то требуется дополнительное исследование для определения характера точки (0, 0). 7. Анализ функции: Функция z = e^(x³ + y²) всегда положительна, так как экспонента всегда положительна. В точке (0, 0) функция принимает значение z(0, 0) = e^(0) = 1. Для любой другой точки (x, y) значение z будет больше 1, так как x³ + y² ≥ 0. Следовательно, в точке (0, 0) функция имеет локальный минимум.

Ответ: Функция z = e^(x³ + y²) имеет локальный минимум в точке (0, 0), и значение функции в этой точке равно 1.