58. z = x³ + 8y² − 6xy + 1;

Для решения задачи необходимо исследовать функцию двух переменных z = x³ + 8y² − 6xy + 1 на экстремум. 1. Находим частные производные первого порядка: ∂z/∂x = 3x² - 6y ∂z/∂y = 16y - 6x 2. Находим стационарные точки, приравняв частные производные к нулю: 3x² - 6y = 0 16y - 6x = 0 Выразим y из второго уравнения: 16y = 6x => y = (3/8)x Подставим это в первое уравнение: 3x² - 6(3/8)x = 0 3x² - (9/4)x = 0 x(3x - 9/4) = 0 Отсюда x = 0 или 3x = 9/4 => x = 3/4 Если x = 0, то y = (3/8)(0) = 0 Если x = 3/4, то y = (3/8)(3/4) = 9/32 Стационарные точки: (0, 0) и (3/4, 9/32) 3. Находим частные производные второго порядка: ∂²z/∂x² = 6x ∂²z/∂y² = 16 ∂²z/∂x∂y = -6 4. Вычисляем дискриминант D: D = (∂²z/∂x²) * (∂²z/∂y²) - (∂²z/∂x∂y)² D = (6x) * (16) - (-6)² = 96x - 36 5. Анализируем стационарные точки: - Для точки (0, 0): D = 96(0) - 36 = -36. Так как D < 0, то в точке (0, 0) экстремума нет. - Для точки (3/4, 9/32): D = 96(3/4) - 36 = 72 - 36 = 36. Так как D > 0 и ∂²z/∂x² = 6(3/4) = 9/2 > 0, то в точке (3/4, 9/32) функция имеет локальный минимум. 6. Находим значение функции в точке минимума: z(3/4, 9/32) = (3/4)³ + 8(9/32)² - 6(3/4)(9/32) + 1 z(3/4, 9/32) = 27/64 + 8(81/1024) - 6(27/128) + 1 z(3/4, 9/32) = 27/64 + 81/128 - 81/64 + 1 z(3/4, 9/32) = (54 + 81 - 162)/128 + 1 z(3/4, 9/32) = -27/128 + 1 z(3/4, 9/32) = 101/128

Ответ: Функция z = x³ + 8y² − 6xy + 1 имеет локальный минимум в точке (3/4, 9/32), и значение функции в этой точке равно 101/128. В точке (0, 0) экстремума нет.