52. z = x³ + y³ − 6xy;

Для решения задачи необходимо исследовать функцию двух переменных z = x³ + y³ − 6xy на экстремум. 1. Находим частные производные первого порядка: ∂z/∂x = 3x² - 6y ∂z/∂y = 3y² - 6x 2. Находим стационарные точки, приравняв частные производные к нулю: 3x² - 6y = 0 3y² - 6x = 0 Выразим y из первого уравнения: y = x²/2 Подставим это во второе уравнение: 3(x²/2)² - 6x = 0 3x⁴/4 - 6x = 0 3x⁴ - 24x = 0 x(3x³ - 24) = 0 Отсюда x = 0 или 3x³ = 24 => x³ = 8 => x = 2 Если x = 0, то y = 0²/2 = 0 Если x = 2, то y = 2²/2 = 4/2 = 2 Стационарные точки: (0, 0) и (2, 2) 3. Находим частные производные второго порядка: ∂²z/∂x² = 6x ∂²z/∂y² = 6y ∂²z/∂x∂y = -6 4. Вычисляем дискриминант D: D = (∂²z/∂x²) * (∂²z/∂y²) - (∂²z/∂x∂y)² D = (6x) * (6y) - (-6)² = 36xy - 36 5. Анализируем стационарные точки: - Для точки (0, 0): D = 36(0)(0) - 36 = -36. Так как D < 0, то в точке (0, 0) экстремума нет. - Для точки (2, 2): D = 36(2)(2) - 36 = 144 - 36 = 108. Так как D > 0 и ∂²z/∂x² = 6(2) = 12 > 0, то в точке (2, 2) функция имеет локальный минимум. 6. Находим значение функции в точке минимума: z(2, 2) = (2)³ + (2)³ - 6(2)(2) z(2, 2) = 8 + 8 - 24 z(2, 2) = 16 - 24 z(2, 2) = -8

Ответ: Функция z = x³ + y³ − 6xy имеет локальный минимум в точке (2, 2), и значение функции в этой точке равно -8. В точке (0, 0) экстремума нет.