51. z = x² + xy + y² − 13x − 11y + 7;

Для решения задачи необходимо исследовать функцию двух переменных z = x² + xy + y² − 13x − 11y + 7 на экстремум. 1. Находим частные производные первого порядка: ∂z/∂x = 2x + y - 13 ∂z/∂y = x + 2y - 11 2. Находим стационарные точки, приравняв частные производные к нулю: 2x + y - 13 = 0 x + 2y - 11 = 0 Решаем систему уравнений: Умножим второе уравнение на 2: 2x + 4y - 22 = 0 Вычтем из полученного уравнения первое уравнение: (2x + 4y - 22) - (2x + y - 13) = 0 3y - 9 = 0 y = 3 Подставим y = 3 в первое уравнение: 2x + 3 - 13 = 0 2x = 10 x = 5 Стационарная точка: (5, 3) 3. Находим частные производные второго порядка: ∂²z/∂x² = 2 ∂²z/∂y² = 2 ∂²z/∂x∂y = 1 4. Вычисляем дискриминант D: D = (∂²z/∂x²) * (∂²z/∂y²) - (∂²z/∂x∂y)² D = 2 * 2 - 1² = 4 - 1 = 3 5. Анализируем стационарную точку (5, 3): Так как D > 0 и ∂²z/∂x² > 0, то в точке (5, 3) функция имеет локальный минимум. 6. Находим значение функции в точке минимума: z(5, 3) = (5)² + (5)(3) + (3)² - 13(5) - 11(3) + 7 z(5, 3) = 25 + 15 + 9 - 65 - 33 + 7 z(5, 3) = 56 - 98 + 7 z(5, 3) = -35

Ответ: Функция z = x² + xy + y² − 13x − 11y + 7 имеет локальный минимум в точке (5, 3), и значение функции в этой точке равно -35.