53. z = (x − 1)² + 2y²;

Для решения задачи необходимо исследовать функцию двух переменных z = (x − 1)² + 2y² на экстремум. 1. Находим частные производные первого порядка: ∂z/∂x = 2(x - 1) ∂z/∂y = 4y 2. Находим стационарные точки, приравняв частные производные к нулю: 2(x - 1) = 0 4y = 0 Из первого уравнения: x - 1 = 0 => x = 1 Из второго уравнения: y = 0 Стационарная точка: (1, 0) 3. Находим частные производные второго порядка: ∂²z/∂x² = 2 ∂²z/∂y² = 4 ∂²z/∂x∂y = 0 4. Вычисляем дискриминант D: D = (∂²z/∂x²) * (∂²z/∂y²) - (∂²z/∂x∂y)² D = 2 * 4 - 0² = 8 5. Анализируем стационарную точку (1, 0): Так как D > 0 и ∂²z/∂x² = 2 > 0, то в точке (1, 0) функция имеет локальный минимум. 6. Находим значение функции в точке минимума: z(1, 0) = (1 - 1)² + 2(0)² z(1, 0) = 0 + 0 z(1, 0) = 0

Ответ: Функция z = (x − 1)² + 2y² имеет локальный минимум в точке (1, 0), и значение функции в этой точке равно 0.