60. z = 3x + 6y − x² − xy − y².

Для решения задачи необходимо исследовать функцию двух переменных z = 3x + 6y − x² − xy − y² на экстремум. 1. Находим частные производные первого порядка: ∂z/∂x = 3 - 2x - y ∂z/∂y = 6 - x - 2y 2. Находим стационарные точки, приравняв частные производные к нулю: 3 - 2x - y = 0 6 - x - 2y = 0 Умножим первое уравнение на 2: 6 - 4x - 2y = 0 Вычтем из полученного уравнения второе уравнение: (6 - 4x - 2y) - (6 - x - 2y) = 0 -3x = 0 x = 0 Подставим x = 0 во второе уравнение: 6 - 0 - 2y = 0 6 - 2y = 0 2y = 6 y = 3 Стационарная точка: (0, 3) 3. Находим частные производные второго порядка: ∂²z/∂x² = -2 ∂²z/∂y² = -2 ∂²z/∂x∂y = -1 4. Вычисляем дискриминант D: D = (∂²z/∂x²) * (∂²z/∂y²) - (∂²z/∂x∂y)² D = (-2) * (-2) - (-1)² = 4 - 1 = 3 5. Анализируем стационарную точку (0, 3): Так как D > 0 и ∂²z/∂x² = -2 < 0, то в точке (0, 3) функция имеет локальный максимум. 6. Находим значение функции в точке максимума: z(0, 3) = 3(0) + 6(3) - (0)² - (0)(3) - (3)² z(0, 3) = 0 + 18 - 0 - 0 - 9 z(0, 3) = 9

Ответ: Функция z = 3x + 6y − x² − xy − y² имеет локальный максимум в точке (0, 3), и значение функции в этой точке равно 9.