54. z = x³y²(6 − x − y), (x > 0, y > 0);

Для решения задачи необходимо исследовать функцию двух переменных z = x³y²(6 − x − y) на экстремум при x > 0, y > 0. 1. Упростим функцию: z = 6x³y² - x⁴y² - x³y³ 2. Находим частные производные первого порядка: ∂z/∂x = 18x²y² - 4x³y² - 3x²y³ ∂z/∂y = 12x³y - 2x⁴y - 3x³y² 3. Находим стационарные точки, приравняв частные производные к нулю: 18x²y² - 4x³y² - 3x²y³ = 0 12x³y - 2x⁴y - 3x³y² = 0 Вынесем общие множители: x²y²(18 - 4x - 3y) = 0 x³y(12 - 2x - 3y) = 0 Так как x > 0 и y > 0, то имеем систему: 18 - 4x - 3y = 0 12 - 2x - 3y = 0 4. Решаем систему уравнений: Вычтем из первого уравнения второе: (18 - 4x - 3y) - (12 - 2x - 3y) = 0 6 - 2x = 0 x = 3 Подставим x = 3 во второе уравнение: 12 - 2(3) - 3y = 0 12 - 6 - 3y = 0 6 - 3y = 0 y = 2 Стационарная точка: (3, 2) 5. Находим частные производные второго порядка: ∂²z/∂x² = 36xy² - 12x²y² - 6xy³ ∂²z/∂y² = 12x³ - 2x⁴ - 6x³y ∂²z/∂x∂y = 36x²y - 8x³y - 9x²y² 6. Вычисляем значения в точке (3, 2): ∂²z/∂x²(3, 2) = 36(3)(2)² - 12(3)²(2)² - 6(3)(2)³ = 432 - 432 - 144 = -144 ∂²z/∂y²(3, 2) = 12(3)³ - 2(3)⁴ - 6(3)³(2) = 324 - 162 - 324 = -162 ∂²z/∂x∂y(3, 2) = 36(3)²(2) - 8(3)³(2) - 9(3)²(2)² = 648 - 432 - 324 = -108 7. Вычисляем дискриминант D: D = (∂²z/∂x²) * (∂²z/∂y²) - (∂²z/∂x∂y)² D = (-144) * (-162) - (-108)² = 23328 - 11664 = 11664 8. Анализируем стационарную точку (3, 2): Так как D > 0 и ∂²z/∂x² = -144 < 0, то в точке (3, 2) функция имеет локальный максимум. 9. Находим значение функции в точке максимума: z(3, 2) = (3)³(2)²(6 - 3 - 2) = 27 * 4 * 1 = 108

Ответ: Функция z = x³y²(6 − x − y) имеет локальный максимум в точке (3, 2), и значение функции в этой точке равно 108.