59. z = 3x² − 2xy + y − 8x + 8;

Для решения задачи необходимо исследовать функцию двух переменных z = 3x² − 2xy + y − 8x + 8 на экстремум. 1. Находим частные производные первого порядка: ∂z/∂x = 6x - 2y - 8 ∂z/∂y = -2x + 1 2. Находим стационарные точки, приравняв частные производные к нулю: 6x - 2y - 8 = 0 -2x + 1 = 0 Из второго уравнения: 2x = 1 => x = 1/2 Подставим это в первое уравнение: 6(1/2) - 2y - 8 = 0 3 - 2y - 8 = 0 -2y - 5 = 0 -2y = 5 y = -5/2 Стационарная точка: (1/2, -5/2) 3. Находим частные производные второго порядка: ∂²z/∂x² = 6 ∂²z/∂y² = 0 ∂²z/∂x∂y = -2 4. Вычисляем дискриминант D: D = (∂²z/∂x²) * (∂²z/∂y²) - (∂²z/∂x∂y)² D = (6) * (0) - (-2)² = -4 5. Анализируем стационарную точку (1/2, -5/2): Так как D < 0, то в точке (1/2, -5/2) экстремума нет.

Ответ: Функция z = 3x² − 2xy + y − 8x + 8 не имеет экстремума в точке (1/2, -5/2).