55. z = e^(x−y) (x² − 2y²);

Для решения задачи необходимо исследовать функцию двух переменных z = e^(x−y) (x² − 2y²) на экстремум. 1. Находим частные производные первого порядка: ∂z/∂x = e^(x-y) * (x² - 2y²) + e^(x-y) * 2x = e^(x-y) * (x² - 2y² + 2x) ∂z/∂y = -e^(x-y) * (x² - 2y²) + e^(x-y) * (-4y) = e^(x-y) * (-x² + 2y² - 4y) 2. Находим стационарные точки, приравняв частные производные к нулю: e^(x-y) * (x² - 2y² + 2x) = 0 e^(x-y) * (-x² + 2y² - 4y) = 0 Так как e^(x-y) ≠ 0, то имеем систему: x² - 2y² + 2x = 0 -x² + 2y² - 4y = 0 3. Решаем систему уравнений: Сложим оба уравнения: (x² - 2y² + 2x) + (-x² + 2y² - 4y) = 0 2x - 4y = 0 x = 2y Подставим x = 2y в первое уравнение: (2y)² - 2y² + 2(2y) = 0 4y² - 2y² + 4y = 0 2y² + 4y = 0 2y(y + 2) = 0 Отсюда y = 0 или y = -2 Если y = 0, то x = 2(0) = 0 Если y = -2, то x = 2(-2) = -4 Стационарные точки: (0, 0) и (-4, -2) 4. Находим частные производные второго порядка: ∂²z/∂x² = e^(x-y) * (x² - 2y² + 2x) + e^(x-y) * (2x + 2) = e^(x-y) * (x² - 2y² + 4x + 2) ∂²z/∂y² = -e^(x-y) * (-x² + 2y² - 4y) + e^(x-y) * (4y - 4) = e^(x-y) * (x² - 2y² + 8y - 4) ∂²z/∂x∂y = -e^(x-y) * (x² - 2y² + 2x) + e^(x-y) * (-4y + 2) = e^(x-y) * (-x² + 2y² - 2x - 4y + 2) 5. Анализируем стационарные точки: - Для точки (0, 0): ∂²z/∂x²(0, 0) = e^(0) * (0 - 0 + 0 + 2) = 2 ∂²z/∂y²(0, 0) = e^(0) * (0 - 0 + 0 - 4) = -4 ∂²z/∂x∂y(0, 0) = e^(0) * (0 - 0 - 0 - 0 + 2) = 2 D = (2) * (-4) - (2)² = -8 - 4 = -12. Так как D < 0, то в точке (0, 0) экстремума нет. - Для точки (-4, -2): ∂²z/∂x²(-4, -2) = e^(-4+2) * ((-4)² - 2(-2)² + 4(-4) + 2) = e^(-2) * (16 - 8 - 16 + 2) = e^(-2) * (-6) ∂²z/∂y²(-4, -2) = e^(-4+2) * ((-4)² - 2(-2)² + 8(-2) - 4) = e^(-2) * (16 - 8 - 16 - 4) = e^(-2) * (-12) ∂²z/∂x∂y(-4, -2) = e^(-4+2) * (-(-4)² + 2(-2)² - 2(-4) - 4(-2) + 2) = e^(-2) * (-16 + 8 + 8 + 8 + 2) = e^(-2) * 10 D = (e^(-2) * (-6)) * (e^(-2) * (-12)) - (e^(-2) * 10)² = e^(-4) * (72 - 100) = e^(-4) * (-28). Так как D < 0, то в точке (-4, -2) экстремума нет.

Ответ: Функция z = e^(x−y) (x² − 2y²) не имеет экстремумов в точках (0, 0) и (-4, -2).