Задача 7. (12 баллов) Пусть 1 = d₁ <d₂ < ... < d₁ = n— все делители натурального числа п. Оказалось, что а² + d = n 8. Найдите п.

Т.к. $$d_1 = 1$$ и $$d_2$$ - наименьший простой делитель $$n$$, то $$d_2^2 \le n$$. Также, $$d_k = n$$ - наибольший делитель $$n$$, поэтому $$d_k = n$$. Тогда получим $$1 + d_2^2 = n - 8$$, откуда $$n = d_2^2 + 9$$.

Число $$d_2$$ - простой делитель $$n$$, значит, $$d_2$$ - простой делитель $$d_2^2 + 9$$, откуда $$d_2$$ делит 9. Но $$d_2$$ - простой делитель, значит, $$d_2$$ = 3.

Тогда $$n = 3^2 + 9 = 18$$. Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Тогда $$d_2 = 2$$, а не 3, следовательно, решения нет.

Из условия, что $$d_1 = 1

Пусть $$d_2= p$$. Тогда из условия задачи следует $$1+p^2 = n-8$$, откуда $$n = p^2 + 9$$.

Так как p - делитель числа n, то p - делитель $$p^2+9$$. Следовательно, p является делителем числа 9. Т.к. p - простой делитель, то p=3. Тогда n = 3*3+9 = 18. Все делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Но по условию $$d_2$$ = 3, а не 2. Следовательно, n=18 не подходит. Если $$d_2 = 2$$, то 1+4 = n - 8, n = 13. У числа 13 делители 1 и 13. Но в этом случае k=2, а не 1 как в условии задачи.

Ответ: решения нет