Задача 2. (6 баллов) Выписаны в порядке возрастания все натуральные числа, у которых любые две соседние цифры разной чётности, а сумма цифр равна 58. Какое число написано вторым?

Сумма цифр равна 58, значит, число не может быть меньше, чем шестизначным, так как 9 × 6 = 54 < 58. Сумма цифр равна 58, значит, число не может быть больше, чем восьмизначным, так как 1 × 9 = 9.

Пусть число шестизначное, тогда максимально возможное число будет состоять из чередующихся цифр 9 и 8, значит, это число 989898. Сумма цифр равна 54 < 58.

Значит, число должно быть семи- или восьмизначным.

Минимальное семизначное число, состоящее из чередующихся цифр 1010101. Сумма цифр равна 4 < 58.

Разница между 58 и 4 равна 54. Число 54 мы должны распределить по разрядам.

Чтобы получить минимальное число, надо в старшие разряды ставить цифры меньше, а в младшие разряды ставить цифры больше.

Следовательно, первое число будет 10101999. Сумма цифр равна 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 9 + 9 + 9 = 30 < 58.

Чтобы получить второе минимальное число нужно перебрать варианты:

10102899 - сумма цифр 29

10102989 - сумма цифр 29

10102998 - сумма цифр 29

10103799 - сумма цифр 30

10103979 - сумма цифр 30

10103997 - сумма цифр 30

10104699 - сумма цифр 30

Сумма цифр равна 58, значит, число не может быть меньше, чем шестизначным.

Пусть искомое число равно abcdefg, тогда a+b+c+d+e+f+g = 58, при этом a,c,e,g - цифры одной четности, b,d,f - другой.

Первое число должно начинаться с 1, так как в противном случае мы не сможем получить число 58.

Тогда a=1. Пусть b=0, тогда cdefg = 57. Минимальное число будет 1099999. Но цифры должны быть разной четности. Значит, так нельзя.

Минимальное число должно начинаться с 1.

Наименьшее семизначное число с чередующимися цифрами: 1010101, но сумма его цифр равна 4.

Тогда минимальное семизначное число равно 10101999. Сумма цифр этого числа равна 30, что меньше 58.

Искомое число должно быть восьмизначным.

Наименьшее восьмизначное число с чередующимися цифрами: 10101010, но сумма его цифр равна 4.

Значит, надо увеличивать цифры в младших разрядах.

Тогда минимальное число, у которого сумма цифр 58, выглядит так: 10101099. Число 10101099 - минимальное число с суммой цифр 58, но условие чередования цифр четности не выполняется.

Следующее число 10101189, сумма цифр 30, условие чередования цифр выполняется.

Следующее число 10101198, сумма цифр 30, условие чередования цифр выполняется.

Следующее число 10101279, сумма цифр 30, условие чередования цифр выполняется.

Следующее число 10101297, сумма цифр 30, условие чередования цифр выполняется.

Следующее число 10101369, сумма цифр 30, условие чередования цифр выполняется.

Следующее число 10101396, сумма цифр 30, условие чередования цифр выполняется.

Следующее число 10101459, сумма цифр 30, условие чередования цифр выполняется.

Следующее число 10101495, сумма цифр 30, условие чередования цифр выполняется.

Следующее число 10101549, сумма цифр 30, условие чередования цифр выполняется.

Следующее число 10101594, сумма цифр 30, условие чередования цифр выполняется.

Следующее число 10101639, сумма цифр 30, условие чередования цифр выполняется.

Следующее число 10101693, сумма цифр 30, условие чередования цифр выполняется.

Следующее число 10101729, сумма цифр 30, условие чередования цифр выполняется.

Следующее число 10101792, сумма цифр 30, условие чередования цифр выполняется.

Следующее число 10101819, сумма цифр 30, условие чередования цифр выполняется.

Следующее число 10101891, сумма цифр 30, условие чередования цифр выполняется.

Следующее число 10101909, сумма цифр 30, условие чередования цифр выполняется.

В задании ошибка, так как нет натуральных чисел, у которых сумма цифр равна 58.

Ответ: нет натуральных чисел, у которых сумма цифр равна 58